绕任意轴旋转

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绕任意轴旋转

绕坐标轴旋转

关于最常见的绕坐标轴旋转,可以看看前一篇-几何变换详解。

绕任意轴旋转

绕任意轴旋转的情况比较复杂,主要分为两种情况,一种是平行于坐标轴的,一种是不平行于坐标轴的,对于平行于坐标轴的,我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合,然后进行旋转,最后再平移回去。

  • 将旋转轴平移至与坐标轴重合,对应平移操作
  • 旋转,对应操作
  • 步骤1的逆过程,对应操作 

整个过程就是

对于不平行于坐标轴的,可按如下方法处理。(该方法实际上涵盖了上面的情况)

  1. 将旋转轴平移至原点
  2. 将旋转轴旋转至YOZ平面
  3. 将旋转轴旋转至于Z轴重合
  4. 绕Z轴旋转θ度
  5. 执行步骤3的逆过程
  6. 执行步骤2的逆过程
  7. 执行步骤1的逆过程

假设用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)来表示旋转轴,θ表示旋转角度。为了方便推导,暂时使用右手系并使用列向量,待得出矩阵后转置一下即可,上面步骤对应的流程图如下。

步骤1是一个平移操作,将v1v2平移至原点,对应的矩阵为

步骤2是一个旋转操作,将p(p = v2 -v1)旋转至XOZ平面,步骤3也是一个旋转操作,将p旋转至与Z轴重合,这两个操作对应的图如下。

做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线,则r是p绕X轴旋转所得,且旋转角度为α,且

,    

于是旋转矩阵为

现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合,旋转的角度为-beta(方向为顺时针),且

,     

于是得到旋转矩阵为

最后是绕Z轴旋转,对应的矩阵如下

如果旋转轴是过原点的,那么第一步和最后一步的平移操作可以省略,也就是把中间五个矩阵连乘起来,再转置一下,得到下面的绕任意轴旋转的矩阵

对应的函数代码如下。

复制代码
void RotateArbitraryAxis(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* axis, float theta)
{
    D3DXVec3Normalize(axis, axis);
    float u = axis->x;
    float v = axis->y;
    float w = axis->z;

    pOut->m[0][0] = cosf(theta) + (u * u) * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[0][1] = u * v * (1 - cosf(theta)) + w * sinf(theta);
    pOut->m[0][2] = u * w * (1 - cosf(theta)) - v * sinf(theta);
    pOut->m[0][3] = 0;

    pOut->m[1][0] = u * v * (1 - cosf(theta)) - w * sinf(theta);
    pOut->m[1][1] = cosf(theta) + v * v * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[1][2] = w * v * (1 - cosf(theta)) + u * sinf(theta);
    pOut->m[1][3] = 0;

    pOut->m[2][0] = u * w * (1 - cosf(theta)) + v * sinf(theta);
    pOut->m[2][1] = v * w * (1 - cosf(theta)) - u * sinf(theta);
    pOut->m[2][2] = cosf(theta) + w * w * (1 - cosf(theta));
    pOut->m[2][3] = 0;

    pOut->m[3][0] = 0;
    pOut->m[3][1] = 0;
    pOut->m[3][2] = 0;
    pOut->m[3][3] = 1;
复制代码

如果旋转轴是不过原点的,那么第一步和最后一步就不能省略,将所有七个矩阵连乘起来,得到如下变换矩阵

对应如下这个超长的矩阵,在这里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1),且是单位向量,a, b, c分别表示(a1, b1, c1)

将上面的过程写成函数,该函数接受四个参数,第一个参数是一个输出参数,用来保存得到的旋转矩阵,第二个和第三个参数是旋转轴的两个端点,最后一个参数是旋转角度θ,注意,在函数中我们已经将上面的矩阵转置了,因为上面是按照列向量计算的。

复制代码
void RotateArbitraryLine(D3DXMATRIX* pOut, D3DXVECTOR3* v1, D3DXVECTOR3* v2, float theta)
{
    float a = v1->x;
    float b = v1->y;
    float c = v1->z;

    D3DXVECTOR3 p = *v2 - *v1;
    D3DXVec3Normalize(&p, &p);
    float u = p.x;
    float v = p.y;
    float w = p.z;

    float uu = u * u;
    float uv = u * v;
    float uw = u * w;
    float vv = v * v;
    float vw = v * w;
    float ww = w * w;
    float au = a * u;
    float av = a * v;
    float aw = a * w;
    float bu = b * u;
    float bv = b * v;
    float bw = b * w;
    float cu = c * u;
    float cv = c * v;
    float cw = c * w;

    float costheta = cosf(theta);
    float sintheta = sinf(theta);

    pOut->m[0][0] = uu + (vv + ww) * costheta;
    pOut->m[0][1] = uv * (1 - costheta) + w * sintheta;
    pOut->m[0][2] = uw * (1 - costheta) - v * sintheta;
    pOut->m[0][3] = 0;

    pOut->m[1][0] = uv * (1 - costheta) - w * sintheta;
    pOut->m[1][1] = vv + (uu + ww) * costheta;
    pOut->m[1][2] = vw * (1 - costheta) + u * sintheta;
    pOut->m[1][3] = 0;

    pOut->m[2][0] = uw * (1 - costheta) + v * sintheta;
    pOut->m[2][1] = vw * (1 - costheta) - u * sintheta;
    pOut->m[2][2] = ww + (uu + vv) * costheta;
    pOut->m[2][3] = 0;

    pOut->m[3][0] = (a * (vv + ww) - u * (bv + cw)) * (1 - costheta) + (bw - cv) * sintheta;
    pOut->m[3][1] = (b * (uu + ww) - v * (au + cw)) * (1 - costheta) + (cu - aw) * sintheta;
    pOut->m[3][2] = (c * (uu + vv) - w * (au + bv)) * (1 - costheta) + (av - bu) * sintheta;
    pOut->m[3][3] = 1;
}