形式幂级数 [学习笔记]

形式幂级数

沉迷多项式,无法自拔...

不具体写了看笔记本,这里稍微记一下。

目录

  1. 多项式的各种运算
  2. 伯努利数
  3. 拉格朗日反演


任意模数卷积

我的三模数ntt跑得好慢,然后拆系数fft跑的好快

\(M = \lceil P \rceil\),将整数表示成\(k\cdot M+b\)的形式

\(x\)\(y\)进行卷积,分别表示称\(a\cdot M + b,\ c\cdot M + d\)
\[ (a\cdot M + b)\cdot (c\cdot M + d) = ac M^2 + (ad+bc)M + bd \]
\(a,b,c,d\)进行dft和idft即可

每个数大小在\(10^{14}\)级别,可以使用复数下fft,共进行7次运算

通常M取\(32768=2^{15}\)

根据猜测,系数表示不溢出double点值表示就不会溢出double。这玩意应该只能承受一次点值乘法

    void mul_any(int *x, int *y, int lim) {
        for(int i=0; i<lim; i++) {
            a[i].x = x[i] >> 15; b[i].x = x[i] & 32767;
            c[i].x = y[i] >> 15; d[i].x = y[i] & 32767;
        }
        dft(a, 1); dft(b, 1); dft(c, 1); dft(d, 1);
        for(int i=0; i<n; i++) {
            cd _a = a[i], _b = b[i], _c = c[i], _d = d[i];
            a[i] = _a * _c;
            b[i] = _a * _d + _b * _c;
            c[i] = _b * _d;
        }
        dft(a, -1); dft(b, -1); dft(c, -1);
        for(int i=0; i<lim; i++) {
            ll _a = (ll) floor(a[i].x + 0.5) %mo, _b = (ll) floor(b[i].x + 0.5) %mo, _c = (ll) floor(c[i].x + 0.5) %mo;
            printf("%lld ", ((_a << 30) %mo + (_b << 15) %mo + _c) %mo);
        }
    }



以下复杂度均为\(T(n) = T(n/2) + O(nlogn) =O(nlogn)\)

模板在最下方


多项式求逆元


\[ A(x) * B(x) \equiv 1 \pmod {x^n} \]

  • 注意到这时候\(A(x)*B(x)\)\(1...n-1\)次项系数为0

用倍增的思想,已知\(\mod x^{\lceil \frac{l}{2} \rceil}\)的逆元\(B_0(x)\)\(\mod x^l\)下的逆元\(B(x)\)

\(l=1\)时,\(b_0 = a_0^{-1}\),可以发现多项式有逆的充要条件是常数项有逆

两式相减,然后平方,同乘\(A(x)\),得到
\[ B(x) \equiv B_0(x) * (2 - A(x) * B_0(x)) \pmod {x^l} \]

处理\(\mod x^l\)时,\(l\)就是当前的次数界,次数\(\ge l\)的都整除没了。

可以理解为只关心前l项



多项式开根


\[ B^2(x) \equiv A(x) \pmod {x^n} \]
同样倍增的思想

已知\(\mod x^{\lceil \frac{l}{2} \rceil}\)的平方根\(B_0(x)\)\(\mod x^l\)下的平方根\(B(x)\)

\(l=1\)时,\(b_0 \equiv \sqrt{a_0} \pmod x\),可能需要二次剩余

移项化简后得到
\[ B(x) \equiv 2^{-1}\cdot (B_0(x) + A(x) * B_0^{-1}(x)) \pmod{x^n} \]
同时还需要求逆...



牛顿迭代法

给出\(G(x)\),求\(F(x)\)
\[ G(F(x)) \equiv 0 \pmod{x^n} \]
倍增的思想。将\(G(F(X))\)\(F_0(x)\)处泰勒展开得到
\[ F(x) \equiv F_0(x) - \frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))} \pmod{x^l} \]
也可以用这个式子求逆元和开根,最后的结果式子一样。


  • 多项式求ln和exp就是和对应的麦克劳林级数复合,所以要求常数项为0



多项式求ln

给出\(F(x) = 1 + \sum_{i \ge 1}f_ix^i\)

求一下导
\[ \ln F(x) = \int \frac{F'(x)}{F(x)}dx \]



多项式求exp

给出\(A(x) = \sum_{i \ge 1}a_ix^i\)
\[ e^{A(x)} - B(x) \equiv 0 \pmod {x^n} \]
取对数后使用牛顿迭代法
\[ B(x) = B_0(x)(1 - \ln B_0(x) + A(x)) \]


多项式k次幂

\(A(x)\)的常数项为1
\[ A(x)^k = exp(k \ln A(x)) \]

否则提取最低次项\(ax^d\)
\[ A(x)^k = (ax^d)^k (\frac{A(x)}{ax^d})^k \]



伯努利数

wiki

用来解决等幂求和问题
\[ \begin{align} \sum_{i=0}^{n-1} i^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m \binom{m+1}{i}B_i^- n^{m+1-i} \\ S_m(n) = \sum_{i=1}^{n} i^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m \binom{m+1}{i}B_i^+ n^{m+1-i} \\ \end{align} \]
复杂度与幂次有关

除了\(B_1\),其他奇数项都是0。\(B_1^+ = \frac{1}{2},B_1^-=-\frac{1}{2}\)

\(0^0=1\)

递推关系

\(n=1, m\neq 0\),
\[ \sum_{i=0}^m \binom{m+1}{i}B_i^- = 0,\ B_0=1, B_1^-=-\frac{1}{2} \]

指数型生成函数

对于\(B^-\),
\[ \sum_{i=0}^\infty B_i\frac{x^i}{i!} =\frac{x}{e^x - 1} = (\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{(i+1)!})^{-1} \]

使用多项式求逆元即可预处理伯努利数. 求\(\mod x^{n+1}\)意义下逆元


预处理任意模数伯努利数的模板



拉格朗日反演

复合逆(反函数):

没有常数项的\(f(x), g(x)\)\(f(g(x))=x\),那么互为复合逆,\(f_1g_1=1,g(f(x))=x\)

用拉格朗日反演可以\(O(nlogn)\)复合逆某一项的系数
\[ [x^n]g(x) = \frac{1}{n}[\omega^{n-1}](\frac{\omega}{f(\omega)})^n \]
可以配合多项式k次幂使用。

生成函数中出现x之后可以用啦。



模板

namespace ntt {
    int g = 3, rev[N];
    void dft(int *a, int n, int flag) {
        int k = 0; while((1<<k) < n) k++;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(k-1));
            if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
        }
        for(int l=2; l<=n; l<<=1) {
            int m = l>>1, wn = Pow(g, flag == 1 ? (P-1)/l : P-1-(P-1)/l);
            for(int *p = a; p != a+n; p += l)
                for(int k=0, w=1; k<m; k++, w = (ll)w*wn %P) {
                    int t = (ll) w * p[k+m] %P, r = p[k];
                    p[k+m] = (r - t + P) %P;
                    p[k] = (r + t) %P;
                }
        }
        if(flag == -1) {
            ll inv = Pow(n, P-2);
            for(int i=0; i<n; i++) a[i] = a[i] * inv %P;
        }
    }
    
    void inverse(int *a, int *b, int l) {
        static int t[N];
        if(l == 1) {b[0] = Pow(a[0], P-2); return;}
        inverse(a, b, l>>1);
        int n = l<<1;
        for(int i=0; i<l; i++) t[i] = a[i], t[i+l] = 0;
        dft(t, n, 1); dft(b, n, 1);
        for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) b[i] * (2 - (ll) t[i] * b[i] %P + P) %P;
        dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
    }

    void sqrt(int *a, int *b, int l) {
        static int t[N], ib[N];
        if(l == 1) {b[0] = 1; return;}
        sqrt(a, b, l>>1);
        int n = l<<1;
        for(int i=0; i<l; i++) t[i] = a[i], t[i+l] = 0, ib[i] = ib[i+l] = 0;
        inverse(b, ib, l);
        dft(t, n, 1); dft(b, n, 1); dft(ib, n, 1);
        for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) inv2 * (b[i] + (ll) t[i] * ib[i] %P) %P;
        dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
    }

    void ln(int *a, int *b, int l) {
        static int da[N], ia[N];
        int n = l<<1;
        for(int i=0; i<n; i++) da[i] = ia[i] = 0;
        for(int i=0; i<l-1; i++) da[i] = (ll) (i+1) * a[i+1] %P;
        inverse(a, ia, l);
        dft(da, n, 1); dft(ia, n, 1);
        for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) da[i] * ia[i] %P;
        dft(b, n, -1);
        for(int i=l-1; i>0; i--) b[i] = (ll) inv[i] * b[i-1] %P; b[0] = 0;
        for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
    }
    
    void exp(int *a, int *b, int l) {
        static int t[N];
        if(l == 1) {b[0] = 1; return;}
        exp(a, b, l>>1);
        int n = l<<1;
        for(int i=0; i<n; i++) t[i] = 0;
        ln(b, t, l);
        for(int i=0; i<l; i++) t[i] = (a[i] - t[i] + P) %P; t[0] = (t[0] + 1) %P;
        dft(b, n, 1); dft(t, n, 1);
        for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) b[i] * t[i] %P;
        dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
    }

    void power(int *a, int k, int l) {
        static int t[N];
        int n = l<<1;
        for(int i=0; i<n; i++) t[i] = 0;
        ln(a, t, l);
        for(int i=0; i<l; i++) t[i] = (ll) k * t[i] %P;
        for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 0;
        exp(t, a, l);
    }
}